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Fondamenti delle distribuzioni di probabilità congiunte
MATH005Lesson 6
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Ne lezioni precedenti, abbiamo vissuto in un mondo monodimensionale, osservando variabili casuali singole in isolamento. Ora ampliamo il nostro orizzonte a distribuzioni di probabilità congiunte. Immagina di osservare simultaneamente un vettore di variabili — come l'altezza e il peso di uno studente, o le coordinate di una freccia che colpisce un bersaglio. Questo quadro ci permette di descrivere matematicamente come le variabili interagiscano, dipendano l'una dall'altra o esistano in una beatifiche indipendenza.

1. Funzione cumulativa congiunta della probabilità (FCP)

La base dell'analisi multivariata è la funzione di distribuzione congiunta $F(a_1, a_2, \dots, a_n)$. Definisce la probabilità che più condizioni siano soddisfatte contemporaneamente.

$F(a_1, a_2, \dots, a_n) = P\{X_1 \le a_1, X_2 \le a_2, \dots, X_n \le a_n\}$

Questa formula rappresenta la probabilità che ogni variabile $X_i$ sia inferiore al suo rispettivo valore soglia $a_i$ contemporaneamente. Geometricamente, nel piano bidimensionale, questa è la probabilità che la coppia casuale $(X, Y)$ cada all'interno del rettangolo seminfinito situato nella parte inferiore sinistra del punto $(a, b)$.

2. Interpretazione infinitesimale della densità

Per le variabili continue, descriviamo la probabilità attraverso una funzione di densità di probabilità congiunta (FDP congiunta), $f(x, y)$. A differenza dei casi discreti, la probabilità in un singolo punto è zero. Invece, consideriamo regioni infinitesime:

  • La probabilità che una coppia $(X, Y)$ cada all'interno di un piccolo rettangolo è data da:
    $P\{a < X < a + da, b < Y < b + db\} = \int_{b}^{b+db} \int_{a}^{a+da} f(x, y) \, dx \, dy \approx f(a, b) \, da \, db$
  • Alternativamente espressa come: $P\{x < X < x + dx, y < Y < y + dy\} \approx f(x, y) dx dy$

Questo rivela che $f(x, y)$ è una "densità" rispetto all' area della regione nel piano cartesiano.

3. Dipendenza e vincoli geometrici

Nella teoria della probabilità, le variabili casuali che non sono indipendenti si dicono dipendenti. Questo non è solo una proprietà algebrica; spesso è visibile nel supporto della distribuzione.

Esempio 1c: Il punto casuale su un cerchio

Considera un punto $(X, Y)$ scelto uniformemente all'interno di un cerchio di raggio $R$ centrato nell'origine $(0,0)$. Le variabili $X$ e $Y$ sono dipendenti perché conoscere $X = x$ limita i valori possibili di $Y$.

Se $X$ è vicino a $R$, $Y$ deve essere vicino a $0$. Matematicamente, $Y$ è vincolato: $-\sqrt{R^2 - X^2} \le Y \le \sqrt{R^2 - X^2}$. Questo confine è ciò che impedisce alla densità congiunta di essere fattorizzata in marginali indipendenti.

🎯 Idea fondamentale
Le distribuzioni congiunte definiscono lo spazio di probabilità condiviso. Quando la realizzazione di una variabile restringe gli esiti possibili dell'altra (come negli esempi 1c, 1d e 1e), abbiamo catturato l'essenza della dipendenza.